Question

14．如圖，直線y=3x-6與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，拋物線y=x²+bx+c過點A、B兩點，該拋物線與x軸的另一個交點為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點P在線段AB上，當AP：BP=1：2時，求點P的坐標；
（3）設(shè)點M在拋物線上，點N在y軸上，已A、C、M、N為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，直接寫出所有滿足要求的點M的坐標，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分別令直線y=3x-6中，x和y分別為0可求得對應的y和x的值，故此可得到點A和點B的坐標，然后將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式可得到關(guān)于b、c的方程，從而可求得b，c的值，故此可得到拋物線的解析式；
（2）過點P作PD⊥AC，垂足為D，依據(jù)平行線的分線段成比例定理可求得OD的長，從而得到點P的橫坐標，然后將點P的橫坐標代入直線AB的解析式，可求得點P的縱坐標；
（3）令y=0得：x²+x-6=0，可求得點C的坐標，從而得到AC=5．①當AC為平行四邊形的邊長時，則MN=AC=5．可得到點M的橫縱坐標，然后將點M的橫坐標代入拋物線的解析式可得到點M的縱坐標；②當AC為平行四邊形的對角線時．設(shè)點M的橫坐標為x．依據(jù)中點坐標公式可求得x=-1，將x=-1代入拋物線的解析式得：y=-6．故此可求得此時點M的坐標．

解答 解：（1）令直線y=3x-6中，x=0，則y=-6，
∴B（0，-6）．
令直線y=3x-6中，y=0，解得x=2，
∴A（2，0）．
將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-6}\\{4+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：c=-6，b=1．
∴拋物線的解析式為y=x²+x-6．

（2）如圖1所示：過點P作PD⊥AC，垂足為D．

∵PD∥OB，AP：BP=1：2，
∴AD：OD=1：2．
又∵AO=2．
∴OD=$\frac{4}{3}$．
將x=$\frac{4}{3}$代入y=3x-6得：y=-2．
∴點P的坐標為（$\frac{4}{3}$，-2）．

（3）令y=0得：x²+x-6=0，解得：x=-3或x=2，
∴C（-3，0）．
∴AC=5．
①當AC為平行四邊形的邊長時，則MN=AC=5．
又∵點N在y軸上，
∴M的橫坐標為±5．
當M的橫坐標為5時，y=5²+5-6=24，
∴M的坐標為（5，24）．
當M的橫坐標為-5時，y=（-5）²-5-6=14，
∴M的坐標為（-5，14）．
②當AC為平行四邊形的對角線時．設(shè)點M的橫坐標為x．
依據(jù)中點坐標公式可知$\frac{x+0}{2}$=$\frac{-3+2}{2}$，解得x=-1，
將x=-1代入拋物線的解析式得：y=-6．
∴M的坐標為（-1，-6）．
綜上所述，點M的坐標為（-1，-6）或（5，24）或（-5，14）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行線分線段成比例定理，平行四邊形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．