Question

20．⊙O是四邊形ABCD的外接圓．OB⊥AC．OB與AC相交于點H，BC=2$\sqrt{10}$，AC=CD=12
（1）求⊙O的半徑；
（2）求AD的長；
（3）若E為弦CD上的一個動點，過點E作EF∥AC，EG∥AD．EF與AD相交于點F，EG與AC相交于點G．試問四邊形AGEF的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據垂徑定理得出直角三角形，進而求出BH，最后用勾股定理即可求出OA；
（2）利用勾股定理先求出OM進而求出AM即可AD的長，
（3）先判斷出四邊形AGEF是平行四邊形，再用三角函數表示出AF和EN，最后用面積公式即可．

解答 解：（1）如圖1，連接OA，
∵OB⊥AC，
∴AH=CH=$\frac{1}{2}$AC=6，AB=BC=2$\sqrt{10}$，
根據勾股定理得，BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=2，
在Rt△AOH中，OA²-OH²=AH²，
∴OA²-（OA-2）²=36，
∴OA=10，
∴⊙O的半徑為10；
（2）如圖2，連接OC，OA，
∵AC=CD，
∴OC⊥AD，
∴AD=2AM，
在RtOAM中，AM²=OA²-OM²=100-OM²，
在Rt△ACM中，AM²=AC²-CM²=AC²-（OA-OM）²=144-（10-OM）²=44+20OM-OM²，
∴100-OM²=44+20OM-OM²，
∴OM=$\frac{14}{5}$，
∴AD=2AM=2$\sqrt{1{0}^{2}-（\frac{14}{5}）^{2}}$=2×$\frac{48}{5}$=$\frac{96}{5}$，
（3）存在面積最大值，
理由：如圖2中，在Rt△ACM中，CM=10-$\frac{14}{5}$=$\frac{36}{5}$，AC=12，
∴sin∠CAD=$\frac{CM}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
設CG=x，（0＜x＜12）
∴AG=12-x，
∵EG∥AD，
∴$\frac{EG}{AD}=\frac{CG}{AC}$，
∴$\frac{EG}{\frac{96}{5}}=\frac{x}{12}$，
∴EG=$\frac{8}{5}$x，
∵EF∥AC，EG∥AD，
∴四邊形AFEG是平行四邊形，
∴AF=EG=$\frac{8}{5}$x，EF=AG=12-x，
∵EF∥AC，
∴∠NFE=∠CAD，
如圖3，過點E作EN⊥AD，
∴sin∠NFE=$\frac{EN}{EF}$=$\frac{EN}{12-x}=\frac{3}{5}$，
∴EN=$\frac{3}{5}$（12-x），
∴S_{四邊形AGEF}=AF×EN=$\frac{8}{5}$x•$\frac{3}{5}$（12-x）=-$\frac{24}{25}$（x-6）²+$\frac{864}{25}$，
當x=6時，S_{四邊形AGEF最大}=$\frac{864}{25}$．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了勾股定理，銳角三角函數，平行四邊形的判定和性質，垂徑定理，平行線分線段成比例定理，解本題的關鍵是求出求出圓的半徑，是一道中等難度的中考常考題．