Question

2．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且AC=16，BD=12．
（1）求菱形ABCD的周長；
（2）過點O作OE⊥AB于點E，求sin∠BOE的值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件可求出菱形的邊長，進而可求出其周長；
（2）由△AOB的面積為菱形面積的四分之一，可求出OE的長，進而可求出sin∠BOE的值．

解答 解：
（1）∵四邊形ABCD是菱形，AC=16，BD=12，
∴AC⊥BD，AO=OC=$\frac{1}{2}$AC=8，BO=BD=$\frac{1}{2}$BD=6，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=10，
∴菱形ABCD的周長=4AB=40；
（2）∵菱形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$AC•BD=96，
∴△AOB的面積=$\frac{1}{4}$×96=24，
∴OE=$\frac{8×6}{10}$=4.8，
∴BE=3.6，
∴sin∠BOE=$\frac{BE}{OB}$=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了菱形的性質和勾股定理的應用，熟記菱形的對角線互相垂直平分和菱形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$×AC×BD是解題關鍵．