Question

15．如圖，是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）圖象的一部分．已知拋物線的對稱軸為x=2，與x軸的一個交點是（-1，0）．有下列結論：
①abc＞0；
②4a-2b+c＜0；
③4a+b=0；
④拋物線與x軸的另一個交點是（5，0）；
⑤點（-3，y₁），（6，y₂）都在拋物線上，則有y₁＜y₂；
⑥am²+bm＞4a+2b．
則結論正確的是①③④⑥．（填序號）

Answer 1

分析 ①先根據拋物線開口方向、對稱軸位置、拋物線與y軸交點位置求得a、b、c的符號，再根據有理數乘法法則即可判斷；
②把x=-2代入函數關系式，結合圖象即可判斷；
③根據對稱軸求出b=-4a，即可判斷；
④根據拋物線的對稱性求出拋物線與x軸的另一個交點坐標，即可判斷；
⑤先求出點（-3，y₁）關于直線x=2的對稱點的坐標，根據拋物線的增減性即可判斷y₁和y₂的大小；
⑥根據拋物線的增減性進行判斷．

解答 解：①∵二次函數的圖象開口向上，
∴a＞0，
∵二次函數的圖象交y軸的負半軸于一點，
∴c＜0，
∵對稱軸是直線x=2，
∴-$\frac{b}{2a}$=2，
∴b=-4a＜0，
∴abc＞0．
故①正確；

②把x=-2代入y=ax²+bx+c
得：y=4a-2b+c，
由圖象可知，當x=-2時，y＞0，
即4a-2b+c＞0．
故②錯誤；

③∵b=-4a，
∴4a+b=0．
故③正確；

④∵拋物線的對稱軸為x=2，與x軸的一個交點是（-1，0），
∴拋物線與x軸的另一個交點是（5，0）．
故④正確；

⑤∵（-3，y₁）關于直線x=2的對稱點的坐標是（7，y₁），
又∵當x＞2時，y隨x的增大而增大，7＞6，
∴y₁＞y₂．
故⑤錯誤；

⑥當x=2時，y=4a+2b+c為最小值，則當m≠2時，4a+2b+c＜am²+bm+c，即當m≠2時，4a+2b＜am²+bm，
故⑥正確．
綜上所述，正確的結論是①③④⑥．
故答案是：①③④⑥．

點評 此題考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數y=ax²+bx+c（a≠0），a的符號由拋物線的開口方向決定；b的符號由對稱軸的位置與a的符號決定；c的符號由拋物線與y軸交點的位置決定；拋物線與x軸有交點時，兩交點關于對稱軸對稱，此外還要根據圖象判斷x=-2時對應函數值的正負及二次函數的增減性．