Question

3．如圖，AC∥BD，E為CD的中點，AE⊥BE
（1）求證：AE平分∠BAC，BE平分∠ABD；
（2）線段AB、AC、BD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論并證明．

Answer 1

分析 （1）先判定△CAE≌△DFE（AAS），得出AC=DF，AE=FE，再判定△AEB≌△FEB（SAS），得到∠BAE=∠F，∠ABE=∠FBE，再根據(jù)∠CAE=∠BAE，即可得出AE平分∠BAC，BE平分∠ABD；
（2）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，可得AB=BF，即AB=BD+DF，再根據(jù)（1）可得，DF=AC，即可得到AB=BD+AC．

解答 解：（1）如圖所示，延長AE交BD的延長線于F，
∵AC∥BD，
∴∠CAE=∠DFE，
∵E為CD的中點，
∴CE=DE，
在△CAE和△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠DFE}\\{∠AEC=∠FED}\\{CE=DE}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△DFE（AAS），
∴AC=DF，AE=FE，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=∠FEB=90°，
在△AEB和△FEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=FE}\\{∠AEB=∠FEB}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△FEB（SAS），
∴∠BAE=∠F，∠ABE=∠FBE，
∴∠CAE=∠BAE，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABD；

（2）線段AB、AC、BD的數(shù)量關(guān)系為：AB=BD+AC．
證明：由（1）可得，△AEB≌△FEB，
∴AB=BF，
即AB=BD+DF，
由（1）可得，DF=AC，
∴AB=BD+AC．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進行求解．