Question

11．在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點O放在斜邊AC上，將三角板繞點O旋轉．
獨立探究：
（1）如圖1，當點O為AC的中點時，三角板的兩直角邊分別交AB，BC于E、F兩點，猜想線段OE、OF之間的數量關系，并說明理由；
（2）如圖2，當點O不是AC的中點時，三角板的兩直角邊分別交AB，BC于E、F兩點，若$\frac{AO}{AC}$=$\frac{1}{4}$，求$\frac{OE}{OF}$的值；
變式拓展：
（3）如圖3，三角板的兩直角邊分別交AB、BC的延長線于E、F兩點，若$\frac{AO}{OC}$=$\frac{n}{m}$，直接寫出$\frac{OE}{OF}$的值．

Answer 1

分析 （1）OE=OF，如圖1，作輔助線，構建全等三角形，證明△EOG≌△FOH即可得出結論；
（2）如圖2，同理作輔助線，構建相似三角形，先通過平行相似得：OG=$\frac{1}{4}$BC，OH=$\frac{3}{4}$AB=$\frac{3}{4}$BC，再證明△GOE∽△HOF列比例式可以得結論；
（3）如圖3，同理作輔助線，構建相似三角形，先通過平行相似得：OG=$\frac{n}{m+n}$BC，OH=$\frac{m}{m+n}$AB=$\frac{m}{m+n}$BC，再證明△GOE∽△HOF列比例式可以得結論．

解答 解：（1）OE=OF，理由是：
如圖1，過O作OG⊥AB于G，OH⊥BC于H，則∠OGE=∠OHF=90°，
∵∠B=90°，
∴OG∥BC，OH∥AB，
∵O是AC的中點，
∴AG=BG，BH=HC，
∴OG=$\frac{1}{2}$BC，OH=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=BC，
∴OG=OH，
∵∠EOF=90°，
∴∠EOH+∠HOF=90°，
∵∠GOH=90°，
∴∠GOE+∠EOH=90°，
∴∠HOF=∠GOE，
∴△EOG≌△FOH，
∴OE=OF；
（2）如圖2，過O作OG⊥AB于G，OH⊥BC于H，
∵OG∥BC，
∴△AGO∽△ABC，
∴$\frac{OG}{BC}=\frac{AO}{AC}$=$\frac{1}{4}$，
∴OG=$\frac{1}{4}$BC，
同理得：$\frac{OH}{AB}=\frac{OC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
∴OH=$\frac{3}{4}$AB=$\frac{3}{4}$BC，
同理得：∠OGE=∠OHF=90°，∠HOF=∠GOE，
∴△GOE∽△HOF，
∴$\frac{OE}{OF}=\frac{OG}{OH}$，
∴$\frac{OE}{OF}$=$\frac{\frac{1}{4}BC}{\frac{3}{4}BC}$=$\frac{1}{3}$；
（3）如圖3，過O作OG⊥AB于G，OH⊥BC于H，
∵$\frac{AO}{OC}$=$\frac{n}{m}$，
∴$\frac{AO}{AC}$=$\frac{n}{m+n}$，
∵OG∥BC，
∴△AGO∽△ABC，
∴$\frac{OG}{BC}=\frac{AO}{AC}$=$\frac{n}{m+n}$，
∴OG=$\frac{n}{m+n}$BC，
同理得：$\frac{OH}{AB}=\frac{OC}{AC}$=$\frac{m}{m+n}$，
∴OH=$\frac{m}{m+n}$AB=$\frac{m}{m+n}$BC，
同理得：△GOE∽△HOF，
∴$\frac{OE}{OF}=\frac{OG}{OH}$，
∴$\frac{OE}{OF}$=$\frac{\frac{n}{m+n}BC}{\frac{m}{m+n}BC}$=$\frac{n}{m}$．

點評 本題是相似三角形的綜合題，難度適中，考查了相似三角形的性質和判定、三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質，做好本題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定，常用平行或兩角對應相等證明兩三角形相似；本題的三個問題證明方法類似，都是通過相同的輔助線作法構建全等三角形可相似三角形得出結論．