Question

3．如圖1，正方形ADEF的頂點(diǎn)D、F在等腰直角△ABC的邊AB、AC上，正方形ADEF以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接BD、CF，在旋轉(zhuǎn)過程中：
（1）利用圖2，求證：BD=CF；
（2）如圖3，延長BD交CF于點(diǎn)G．
 ①求證：C，G，A，B四點(diǎn)在同一個圓上；
 ②若AB=4，AD=$\sqrt{2}$，α=45°，求線段CG的長．

Answer 1

分析 （1）利用SAS證明△AFC≌△ADB可得結(jié)論；
（2）①如圖3，易證：BG⊥CF，所以Rt△ABC的外接圓同時也是△BCG的外接圓，即C，G，A，B四點(diǎn)在同一個圓上；
②如圖4，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，得等腰直角三角形ADM，求出AM=1，MB=3，BD=$\sqrt{10}$，利用同角的三角函數(shù)還可以依次求AH、CH、CG的長．

解答 證明：（1）如圖2，由旋轉(zhuǎn)得：∠DAB=∠FAC，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AF=AD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB，
∴△AFC≌△ADB，
∴BD=FC；
（2）如圖3，同理可得：△ADB≌△AFC，
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠CAB=90°，
∴∠ACB+∠ABD+∠CBG=90°，
∴∠ACB+∠ACF+∠CBG=90°，
∴∠BGC=90°，
∴∠BGC=∠BAC=90°，
∴C，G，A，B四點(diǎn)在同一個圓上，
②如圖4，過D作DM⊥AB于點(diǎn)M，
∵∠DAB=45°，
∴△ADM等腰直角三角形，
∵AD=$\sqrt{2}$，
∴AM=DM=1，
∵AB=4，
∴BM=AB-AM=4-1=3，
∴BD=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
在Rt△AHB中，tan∠ABH=$\frac{DM}{BM}=\frac{AH}{AB}$，
∴$\frac{1}{3}=\frac{AH}{4}$，
∴AH=$\frac{4}{3}$，
∴CH=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∵∠ABD=∠ACF，
∴cos∠ABD=cos∠ACF，
∵BG⊥FC，
∴△HGC是直角三角形，
∴$\frac{CG}{CH}=\frac{BM}{BD}$，
∴$\frac{CG}{\frac{8}{3}}$=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，
∴CG=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 本題是三角形的綜合題，考查了等腰直角三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定、正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，利用的知識點(diǎn)較多，但難度不大；主要運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定解決問題，因此熟練掌握三角形全等的判定是本題的關(guān)鍵．