Question

5．如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，延長BC到點F，連接AF，使∠ABC=2∠CAF．
（1）求證：AF是⊙O的切線；
（2）若AC=4，CE：EB=1：3，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）連接BD，由圓周角定理得出∠ADB=90°，由等腰三角形的性質得出∠ABC=2∠ABD，得出∠ABD=∠CAF，證出∠CAF+∠CAB=90°，BA⊥FA，即可得出結論；
（2）連接AE，由圓周角定理得出∠AEB=90°，設CE長為x，則EB長為3x，AB=BC=4x．由勾股定理可得AE=$\sqrt{7}x$，在Rt△AEC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）證明：連接BD，如圖1所示：                       
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ADB=90°，
∵BA=BC，
∴BD平分∠ABC，即∠ABC=2∠ABD
∵∠ABC=2∠CAF，
∴∠ABD=∠CAF，
∵∠ABD+∠CAB=90°，
∴∠CAF+∠CAB=90°，即BA⊥FA，
∴AF是⊙O的切線；                       
（2）解：連接AE，如圖2所示：
∵AB是⊙O的直徑
∴∠AEB=90°，即△AEB為直角三角形，
∵CE：EB=1：3，
設CE長為x，則EB長為3x，BC長為4x．
則AB長為4x，
在Rt△AEB中由勾股定理可得 AE=$\sqrt{7}x$，
在Rt△AEC中，AC=4，AE=$\sqrt{7}x$，CE=x，
由勾股定理得：${4^2}={（\sqrt{7}x）^2}+{x^2}$，
解得：$x=±\sqrt{2}$，
∵x＞0
∴$x=\sqrt{2}$，即CE長為$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了切線的判定、勾股定理、圓周角定理、等腰三角形的性質；熟練掌握切線的判定方法，運用勾股定理得出方程是解決問題（2）的關鍵．