Question

19．某校計劃在一塊長為80米，寬為40米的長方形空地上修建一個長方形花圃．
（1）如圖1，將花圃四周余下的空地修建成同樣寬的通道，如果通道所占面積是整個長方形空地面積的一半，求出此時通道的寬；
（2）在（1）中修建的長方形花圃中，要繼續修建兩個面積最大且相同的圓形區域（兩個圓形區域沒有公共部分）來種植某種花卉，求出兩個圓心距離的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可設通道的寬是x米，根據通道所占面積是整個長方形空地面積的一半，列出方程進行計算即可；
（2）設兩圓圓形距為d，當兩圓只有一個公共點時，d有最小值，當兩圓分別與花圃的寬相切時，d有最大值，依此可求兩個圓心距離的取值范圍．

解答 解：（1）設通道的寬是x米，依題意有
（40-2x）（80-2x）=$\frac{1}{2}$×80×40，
解得x₁=30+10$\sqrt{5}$（不合題意），x₂=30-10$\sqrt{5}$．
答：通道的寬是（30-10$\sqrt{5}$）米．
（2）∵40-2x=20$\sqrt{5}$-20，
∴圓形區域的半徑為10$\sqrt{5}$-10，面積最大，
設兩圓圓形距為d，當兩圓只有一個公共點時，d有最小值，為20$\sqrt{5}$-20米，
當兩圓分別與花圃的寬相切時，d有最大值，
d=80-2a-2r=80-2（30-10$\sqrt{5}$）-2（10$\sqrt{5}$-10）=40米，
∴兩個圓心距離的取值范圍是20$\sqrt{5}$-20＜d≤40．

點評 本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是表示出花圃的長和寬．注意判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．