Question

18．如圖，拋物線y=ax²-（2a+1）x+b的圖象經過（2，-1）和（-2，7）且與直線y=kx-2k-3相交于點P（m，2m-7）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線y=kx-2k-3與拋物線y=ax²-（2a+1）x+b的對稱軸的交點Q的坐標；
（3）在y軸上是否存在點T，使△PQT的一邊中線等于該邊的一半？若存在，求出點T的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據拋物線y=ax²-（2a+1）x+b的圖象經過（2，-1）和（-2，7），求得a，b的值即可得到拋物線的解析式；
（2）先根據拋物線的圖象經過點P（m，2m-7），求得點P的坐標，再根據直線y=kx-2k-3經過點P，求得k的值，最后根據拋物線的對稱軸為直線x=2，求得點Q的坐標；
（3）設點T的坐標為（0，t），M為PQ的中點，連結TM，分三種情況討論：∠PTQ=90°時，∠PQT=90°時，∠QPT=90°時，分別根據勾股定理列出關于t的方程進行求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²-（2a+1）x+b的圖象經過（2，-1）和（-2，7），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-4a-2+b=-1}\\{4a+4a+2+b=7}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-2x+1；

（2）∵拋物線的圖象經過點P（m，2m-7），
∴2m-7=$\frac{1}{2}$m²-2m+1，
解得m₁=m₂=4，
∴點P的坐標為（4，1），
∵直線y=kx-2k-3經過點P，
∴4k-2k-3=1，
解得k=2，
∴直線的解析式為y=2x-7，
∵y=$\frac{1}{2}$x²-2x+1=$\frac{1}{2}$（x-2）²-1，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2，
∴在y=2x-7中，當x=2時，y=2×2-7=-3，
∴點Q的坐標為（2，-3）；

（3）設點T的坐標為（0，t），M為PQ的中點，連結TM，根據題意得：
TM=$\frac{1}{2}$PQ，即TM=PM=QM，
∴點T在以PQ為直徑的圓上，
∴∠PTQ=90°，
∴△PQT為直角三角形，
同理，點M為PT或QT的中點時，△PQT仍為直角三角形，
作PA⊥y軸于A，交直線x=2于點C，QB⊥y軸于B，則AT=|1-t|，BT=|-3-t|，
∵PA=4，QB=2，PC=2，CQ=4，
∴PQ=$\sqrt{P{C}^{2}+C{Q}^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
①當∠PTQ=90°時，
∵PQ²=TQ²+TP²=BT²+QB²+PA²+AT²
=|-3-t|²+2²+|1-t|²+4²=20，
∴2t²+4t+10=0，即（t+1）²=-4，
∵（t+1）²≥0，
∴此方程無解；
②當∠PQT=90°時，PQ²+QT²=PT²，
∴（2$\sqrt{5}$）²+2²+|-3-t|²=4²+|1-t|²，
解得t=-2；
③當∠QPT=90°時，TQ²=PT²+PQ²，
∴QB²+BT²=PA²+AT²+（2$\sqrt{5}$）²，
∴4+|-3-t|²=16+|1-t|²+20，
解得t=3，
綜上所述，在y軸上存在點T，其坐標分別為（0，3）和（0，-2），使△PQT的一邊中線等于該邊的一半．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求函數解析式、直角三角形的性質、二次函數與坐標軸的交點等知識，分類討論是解題的關鍵．