Question

7．鈍角三角形ABC中，∠BAC＞90°，∠ACB=α，∠ABC=β，過點(diǎn)A的直線l交BC邊于點(diǎn)D．點(diǎn)E在直線l上，且BC=BE．

（1）若AB=AC，點(diǎn)E在AD延長(zhǎng)線上．
①當(dāng)α=30°，點(diǎn)D恰好為BC中點(diǎn)時(shí)，補(bǔ)全圖1，直接寫出∠BAE=60°，∠BEA=30°；
②如圖2，若∠BAE=2α，求∠BEA的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；
（2）如圖3，若AB＜AC，∠BEA的度數(shù)與（1）中②的結(jié)論相同，直接寫出∠BAE，α，β滿足的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）①只要證明AE⊥BC，△BCE是等邊三角形即可解決問題．②如圖2中，延長(zhǎng)CA到F，使得BF=BC，則BF=BE=BC，連接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N．
只要證明Rt△BMF≌Rt△BNE，推出∠BEA=∠F，由BF=BC，推出∠F=∠C=α，推出∠BEA=α即可．
（2）如圖3中，連接EC，由△ADC∽△BDE，推出$\frac{AD}{BD}$=$\frac{DC}{DE}$，推出$\frac{AD}{DC}$=$\frac{BD}{DE}$，由∠ADB=∠CDE，推出△ADB∽△CDE，推出∠BAD=∠DCE，∠ABD=∠DEC=β，由BC=BE，推出∠BCE=∠BEC，推出∠BAE=∠BEC=∠BEA+∠DEC=α+β．

解答 解：（1）①補(bǔ)全圖1，如圖所示．

∵AB=AC，BD=DC，
∴AE⊥BC，
∴EB=EC，∠ADB=90°，
∵∠ABC=30°，
∴∠BAE=60°
∵BC=BE，
∴△BCE是等邊三角形，∠DEB=∠DEC，
∴∠BEC=60°，∠BEA=30°
故答案為60，30．

②如圖2中，延長(zhǎng)CA到F，使得BF=BC，則BF=BE=BC，連接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N．

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=α，
∴∠MAB=2α，∵∠BAN=2α，
∴∠BAM=∠BAN，
∴BM=BN，
在Rt△BMF和Rt△BNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=BE}\\{BM=BN}\end{array}\right.$，
∴Rt△BMF≌Rt△BNE．
∴∠BEA=∠F，
∵BF=BC，
∴∠F=∠C=α，
∴∠BEA=α．

（2）結(jié)論：∠BAE=α+β．理由如下，
如圖3中，連接EC，

∵∠ACD=∠BED=α，∠ADC=∠BDE，
∴△ADC∽△BDE，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{DC}{DE}$，
∴$\frac{AD}{DC}$=$\frac{BD}{DE}$，∵∠ADB=∠CDE，
∴△ADB∽△CDE，
∴∠BAD=∠DCE，
∠ABD=∠DEC=β，
∵BC=BE，
∴∠BCE=∠BEC，
∴∠BAE=∠BEC=∠BEA+∠DEC=α+β．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．