Question

8．如圖，AB是半⊙O的直徑，點C在半⊙O上，AB=5cm，AC=4cm．D是$\widehat{BC}$上的一個動點，連接AD，過點C作CE⊥AD于E，連接BE．在點D移動的過程中，BE的最小值為$\sqrt{13}$-2．

Answer 1

分析 如圖，連接BO′、BC．在點D移動的過程中，點E在以AC為直徑的圓上運動，當O′、E、B共線時，BE的值最小，最小值為O′B-O′E，利用勾股定理求出BO′即可解決問題．

解答 解：如圖，連接BO′、BC．

∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∴在點D移動的過程中，點E在以AC為直徑的圓上運動，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=5，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
在Rt△BCO′中，BO′=$\sqrt{B{C}^{2}+CO{′}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵O′E+BE≥O′B，
∴當O′、E、B共線時，BE的值最小，最小值為O′B-O′E=$\sqrt{13}$-2，
故答案為：$\sqrt{13}-2$．

點評 本題考查圓綜合題、勾股定理、點與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是確定等E的運動軌跡是以AC為直徑的圓上運動，屬于中考填空題中 壓軸題．