Question

6．在平面直角坐標系中，拋物線C₁：y=$\frac{4}{3}$x²+$\frac{20}{3}$x+$\frac{16}{3}$的頂點為D，與x軸交于A，B兩點（點A在點B左邊）．
（1）求A，B，D三點的坐標；
（2）將拋物線C₁繞B點旋轉180°，得到拋物線C₂，再將拋物線C₂沿x軸向右平移得到拋物線C₃，設拋物線C₃與x軸分別交于E，F兩點（點E在點F左邊），頂點為G，連接AG，DF，若四邊形ADFG為矩形．①求B點平移的距離；②求過E，F，G三點拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）對于拋物線y=$\frac{4}{3}$x²+$\frac{20}{3}$x+$\frac{16}{3}$，令y=0，得到$\frac{4}{3}$x²+$\frac{20}{3}$x+$\frac{16}{3}$=0，解方程可得A、B兩點坐標，再利用配方法確定頂點坐標即可．
（2）如圖，作GK⊥x軸于G，DH⊥AB于H．由題意GK=DH=3，AH=HB=EK=KF=1.5，由題意△AGK∽△GFK，得$\frac{AK}{GK}$=$\frac{GK}{KF}$，即$\frac{AK}{3}$=$\frac{3}{1.5}$，推出AK=6，BK=3，BF=4.5，OK=2，推出G（2，3），由此即可解決問題．

解答 解：（1）對于拋物線y=$\frac{4}{3}$x²+$\frac{20}{3}$x+$\frac{16}{3}$，令y=0，得到$\frac{4}{3}$x²+$\frac{20}{3}$x+$\frac{16}{3}$=0，解得x=-1或-4，
∴A（-4，0），B（-1，0），
∵y=$\frac{4}{3}$x²+$\frac{20}{3}$x+$\frac{16}{3}$=$\frac{4}{3}$（x+$\frac{5}{2}$）²-3，
∴拋物線的頂點坐標D（-$\frac{5}{2}$，-3）．

（2）如圖，作GK⊥x軸于G，DH⊥AB于H．

由題意GK=DH=3，AH=HB=EK=KF=1.5，
∵四邊形AGFD是矩形，
∴∠AGF=∠GKF=90°，
∴∠AGK+∠KGF=90°，∠KGF+∠GFK=90°，
∴∠AGK=∠GFK，∵∠AKG=∠FKG=90°，
∴△AGK∽△GFK，
∴$\frac{AK}{GK}$=$\frac{GK}{KF}$，
∴$\frac{AK}{3}$=$\frac{3}{1.5}$，
∴AK=6，BK=3，BE=1.5，OK=2，
∴G（2，3），
∴B點平移的距離為1.5；過E，F，G三點拋物線的解析式為y=-$\frac{4}{3}$（x-2）²+3．

點評 本題考查二次函數綜合題、待定系數法，配方法確定頂點坐標、矩形的性質、相似三角形的判定和性質、翻折變換等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．