Question

以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側作等腰直角三角形，直角頂點分別為E、F、G、H，順次連結這四個點，得四邊形EFGH．

(1)如圖1，當四邊形ABCD為正方形時，我們發現四邊形EFGH是正方形；

  如圖2，當四邊形ABCD為矩形時，請判斷：四邊形EFGH的形狀（不要求證明）；

(2)如圖3，當四邊形ABCD為一般平行四邊形時，

① 求證：HE=HG；

② 四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由．

Answer 1

（1）四邊形EFGH是正方形．                           

(2) ①設∠ADC=α（0°＜α＜90°），

在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a；

∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，

∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD

＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a．                   

∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形，

∴∠DHA=∠CDG= 45°，

∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE．          

∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE=AB，DG=CD，

在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，

∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，

∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．                            

②四邊形EFGH是正方形．

由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已證），

∴GH=GF=FG=FE，∴四邊形EFGH是菱形；

∵△HAE≌△HDG（已證），∴∠AHE=∠DHG，

又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，

∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，

∴四邊形EFGH是正方形．