Question

（本題滿分10分）

【問題提出】學習了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究．

【初步思考】我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究．

【深入探究】

第一種情況：當∠B是直角時，△ABC≌△DEF．

（1）如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二種情況：當∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF．

（2）如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B．∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．

第三種情況：當∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等．

（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B．∠E都是銳角，請你用尺規在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）

（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請直接寫出結論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B．∠E都是銳角，若 ，則△ABC≌△DEF．

 

 

Answer 1

（1）HL；（2）證明見試題解析；（3）作圖見試題解析；（4）∠B≥∠A．

【解析】

試題分析：（1）根據直角三角形全等的方法“HL”證明；

（2）過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，根據等角的補角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據全等三角形對應邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據全等三角形對應角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等；

（3）以點C為圓心，以AC長為半徑畫弧，與AB相交于點D，E與B重合，F與C重合，得到△DEF與△ABC不全等；

（4）根據三種情況結論，∠B不小于∠A即可．

試題解析：（1）HL；

（2）如圖，過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，

∵∠B=∠E，且∠B．∠E都是鈍角，∴180°﹣∠B=180°﹣∠E，即∠CBG=∠FEH，

在△CBG和△FEH中，∵∠CBG=∠FEH，∠G=∠H=90°，BC=EF，

∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG=FH，

在Rt△ACG和Rt△DFH中，∵AC=DF，CG=FH，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，

在△ABC和△DEF中，∵∠A=∠D，∠ABC=∠DEF，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（AAS）；

（3）如圖，△DEF和△ABC不全等；

（4）若∠B≥∠A，則△ABC≌△DEF．

考點：1．全等三角形的判定與性質；2．作圖—應用與設計作圖．