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7.已知α、β是方程x2-3x+1=0的兩根,則α3-$\frac{3}{β}$=$\frac{9+5\sqrt{5}}{2}$或$\frac{9-5\sqrt{5}}{2}$.

分析 先根據一元二次方程根的定義得到α2-3α+1=0,則α2=3α-1,然后再根據根與系數的關系得αβ=1,再利用整體代入的方法計算即可.

解答 解:∵α、β是方程x2-3x+1=0的兩根,
∴α2-3α+1=0,α2=3α-1,αβ=1,
解得:α=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$或α=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$,對應β=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$或β=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$,
則α3-$\frac{3}{β}$
=$\frac{{α}^{3}β-3}{β}$,
=$\frac{{α}^{2}-3}{β}$
=$\frac{3α-4}{β}$,
∴當α=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$,β=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$時,原式=$\frac{9+5\sqrt{5}}{2}$;
當α=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$,β=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$時,原式=$\frac{9-5\sqrt{5}}{2}$.
故答案為:$\frac{9+5\sqrt{5}}{2}$或$\frac{9-5\sqrt{5}}{2}$.

點評 本題考查的是一元二次方程根與系數的關系及代數式求值,若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時,x1+x2=-$\frac{b}{a}$,x1x2=$\frac{c}{a}$.

練習冊系列答案
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