Question

1．如圖，在四邊形ABCD中，BC、AD不平行，且∠BAD+∠ADC=270°，E、F分別是AD、BC的中點，已知EF=4，求AB²+CD²的值．

Answer 1

分析 連接BD，取BD的中點M，連接EM并延長交BC于N，連接FM，根據三角形中位線定理得到EM=$\frac{1}{2}$AB，FM=$\frac{1}{2}$CD，∠NMF=90°，根據勾股定理計算即可．

解答 解：連接BD，取BD的中點M，連接EM并延長交BC于N，連接FM，
∵∠BAD+∠ADC=270°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∵E、F、M分別是AD、BC、BD的中點，
∴EM∥AB，FM∥CD，EM=$\frac{1}{2}$AB，FM=$\frac{1}{2}$CD，
∴∠MNF=∠ABC，∠MFN=∠C，
∴∠MNF+∠MFN=90°，即∠NMF=90°，
由勾股定理得，ME²+MF²=EF²=16，
∴AB²+CD²=（2ME）²+（2MF）²=64．

點評 本題考查的是三角形中位線定理和勾股定理的應用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．