Question

6．已知直線y=kx-3與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點C．拋物線y=-$\frac{3}{4}$x²+mx+n經過點A和點C．且與x軸交于點B，動點P在x軸上以每秒1個單位長度的速度由點B向點A運動．點Q由點C沿線段CA向點A運動．且速度是點P運動速度的2倍．
（1）求直線的解析式和拋物線的解析式；
（2）如果點P和點Q同時出發．運動時間為t（秒）．試問當t為何值時，以A、P、Q為頂點的三角形與△AOC相似．

Answer 1

分析 （1）先把A點坐標代入y=kx-3可求出k得到直線的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-3，再利用直線解析式求出C（0，-3），然后利用待定系數法求拋物線的解析式；
（2）利用拋物線與x軸的交點問題求出B（1，0），則可根據勾股定理計算出AB=5，則AP=3-t，AQ=5-2t，然后分類討論：由于∠PAQ=∠OAC，所以當∠APQ=∠AOC時，△APQ∽△AOC，利用相似比得到$\frac{3-t}{4}$=$\frac{5-2t}{5}$；當∠APQ=∠AOC時，△APQ∽△ACO，利用相似比得到$\frac{3-t}{5}$=$\frac{5-2t}{4}$，再分別解關于t的方程求出t即可．

解答 解：（1）把A（4，0）代入y=kx-3得4k-3=0，解得k=$\frac{3}{4}$，則直線的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-3；
當x=0時，y=$\frac{3}{4}$x-3=-3，則C（0，-3），
把A（4，0），C（0，-3）代入y=-$\frac{3}{4}$x²+mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{-12+4m+n=0}\\{n=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{15}{4}}\\{n=-3}\end{array}\right.$．
所以拋物線的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x-3；
（2）對于拋物線y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x-3；
當y=0，-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x-3=0，解得x₁=1，x₂=4，
∴B（1，0），
∴AB=3，
∵AO=4，
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AP=3-t，AQ=5-2t，
∵∠PAQ=∠OAC，
∴當∠APQ=∠AOC時，△APQ∽△AOC，則$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AQ}{AC}$，即$\frac{3-t}{4}$=$\frac{5-2t}{5}$，解得t=$\frac{5}{3}$；
當∠APQ=∠AOC時，△APQ∽△ACO，則$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AQ}{AO}$，即$\frac{3-t}{5}$=$\frac{5-2t}{4}$，解得t=$\frac{13}{6}$，
綜上所述，當t的值$\frac{5}{3}$$\frac{13}{6}$時，以P、Q、A為頂點的三角形與△AOC相似．

點評 本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征和一次函數圖象上點的坐標特征；能用待定系數法求函數解析式，會求拋物線與x軸的交點坐標；靈活運用相似三角形的判定與性質和分類討論思想．