Question

8．如圖，拋物線y=（1-m）x²+4x-3的開口向下，與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，其中x₁＜x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）當x₁+x₂=10時，求拋物線的解析式；
（3）點C為拋物線的頂點，當△ABC為等腰直角三角形時，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）由題意1-m＜0，解不等式即可．
（2）根據拋物線的對稱軸列出方程即可解決問題．
（3）由（1-m）x²+4x-3=0，有x₁+x₂=$\frac{4}{m-1}$，x₁•x₂=$\frac{3}{m-1}$，推出|AB|=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{4}{m-1}）^{2}-\frac{12}{m-1}}$，又因為-$\frac{b}{2a}$=$\frac{2}{m-1}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{3m-7}{1-m}$，所以頂點C的坐標為（$\frac{2}{m-1}$，$\frac{3m-7}{1-m}$），根據△ABC是等腰直角三角形，可得|$\frac{3m-7}{1-m}$|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（\frac{4}{m-1}）^{2}-\frac{12}{m-1}}$，解方程即可．

解答 解：（1）由題意1-m＜0，即m＞1．

（2）由題意-$\frac{4}{2（1-m）}$=5，解得m=$\frac{7}{5}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{2}{5}$x²+4x-3．

（3）由（1-m）x²+4x-3=0，有x₁+x₂=$\frac{4}{m-1}$，x₁•x₂=$\frac{3}{m-1}$，
∴|AB|=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{4}{m-1}）^{2}-\frac{12}{m-1}}$，
又∵-$\frac{b}{2a}$=$\frac{2}{m-1}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{3m-7}{1-m}$，
∴頂點C的坐標為（$\frac{2}{m-1}$，$\frac{3m-7}{1-m}$），
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴|$\frac{3m-7}{1-m}$|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（\frac{4}{m-1}）^{2}-\frac{12}{m-1}}$，
解得m=2或$\frac{7}{3}$．
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x-3或y=-$\frac{4}{3}$x²+4x-3．

點評 本題考查了二次函數綜合題，涉及函數與方程的關系、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用方程思想思考問題，屬于中考常考題型．