Question

10．《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有這樣一個問題：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思是：“如圖，今有直角三角形，勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形能容納的圓形（內切圓）直徑是多少？”此問題中，該內切圓的直徑是（　　）

• A． 5步
• B． 6步
• C． 8步
• D． 10步

Answer 1

分析 由勾股定理可求得斜邊長，分別連接圓心和三個切點，設內切圓的半徑為r，利用面積相等可得到關于r的方程，可求得內切圓的半徑，則可求得內切圓的直徑．

解答 解：
如圖，在Rt△ABC中，AC=8，BC=15，∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=17，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$×8×15=60，
設內切圓的圓心為O，分別連接圓心和三個切點，及OA、OB、OC，
設內切圓的半徑為r，
∴S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC=$\frac{1}{2}$×r（AB+BC+AC）=20r，
∴20r=60，解得r=3，
∴內切圓的直徑為6步，
故選B．

點評 本題主要考查三角形的內切圓，連接圓心和切點，把三角形的面積分成三個三個角形的面積得到關于r的方程是解題的關鍵．