Question

15．某“數學興趣小組”根據學習函數的經驗，對函數y=-x²+2|x|+1的圖象和性質進行了探究，探究過程如下，請補充完整：
（1）自變量x的取值范圍是全體實數，x與y的幾組對應數值如表：

x	…	-3	-$\frac{5}{2}$	-2	-1	0	1	2	$\frac{5}{2}$	3	…
y	…	-2	-$\frac{1}{4}$	m	2	1	2	1	-$\frac{1}{4}$	-2	…

其中m=1；
（2）如圖，在平面直角坐標系xOy中，描出了以上表中各對對應值為坐標的點，根據描出的點，畫出該函數的圖象；
（3）根據函數圖象，寫出：
①該函數的一條性質函數圖象關于y軸對稱；
②直線y=kx+b經過點（-1，2），若關于x的方程-x²+2|x|+1=kx+b有4個互不相等的實數根，則b的取值范圍是1＜b＜2．

Answer 1

分析 （1）把x=-2代入函數解釋式即可得m的值；
（2）描點、連線即可得到函數的圖象；
（3）①根據函數圖象得到函數y=x²-2|x|+1的圖象關于y軸對稱；當x＞1時，y隨x的增大而減少；
②根據函數的圖象即可得到b的取值范圍是1＜b＜2．

解答 解：（1）當x=-2時，m=-（-2）²+2×|-2|+1=-4+4+1=1．
（2）如圖所示：

（3）①答案不唯一．如：函數圖象關于y軸對稱．
②由函數圖象知：∵關于x的方程-x²+2|x|+1=kx+b有4個互不相等的實數根，
∴b的取值范圍是1＜b＜2．
故答案為：1；函數圖象關于y軸對稱；1＜b＜2．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數的圖象和性質，正確的識別圖象是解題的關鍵．