Question

7．某公司產銷一種產品，為保證質量，每個周期產銷商品件數控制在100以內，產銷成本C是商品件數x的二次函數，調查數據如表：

產銷商品件數（x/件）	10	20	30
產銷成本（C/元）	120	180	260

商品的銷售價格（單位：元）為P=35-$\frac{1}{10}$x（每個周期的產銷利潤=P•x-C）
（1）直接寫出產銷成本C與商品件數x的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）
（2）該公司每個周期產銷多少件商品時，利潤達到220元？
（3）求該公司每個周期的產銷利潤的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據題意設出C與x的函數關系式，然后根據表格中的數據即可解答本題；
（2）根據題意可以列出相應的方程，從而可以解答本題；
（3）根據題意可以得到利潤與銷售價格的關系式，然后化為頂點式即可解答本題．

解答 解：（1）設C=ax²+bx+c，
$\left\{\begin{array}{l}{a×1{0}^{2}+10b+c=120}\\{a×2{0}^{2}+20b+c=180}\\{a×3{0}^{2}+30b+c=260}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{10}}\\{b=3}\\{c=80}\end{array}\right.$，
即產銷成本C與商品件數x的函數關系式是：C=$\frac{1}{10}$x²+3x+80；
（2）依題意，得
（35-$\frac{1}{10}$x）•x-（$\frac{1}{10}$x²+3x+80）=220；
解得，x₁=10，x₂=150，
∵每個周期產銷商品件數控制在100以內，
∴x=10．
即該公司每個周期產銷10件商品時，利潤達到220元；
（3）設每個周期的產銷利潤為y元，
∵y=（35-$\frac{1}{10}$x）•x-（$\frac{1}{10}$x²+3x+80）=-$\frac{1}{5}$x²+32x-80=-$\frac{1}{5}$（x-80）²+1200，
∴當x=80時，函數有最大值，此時y=1200，
即當每個周期產銷80件商品時，產銷利潤最大，最大值為1200 元．

點評 本題考查二次函數的應用、一元二次方程的應用，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．