Question

19．如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，P是⊙O上的一個點，D是BP延長線上的一個點，且∠DAP=∠ABP，若AD=4，PD=2，則線段PA的長是$\sqrt{13}$+1．

Answer 1

分析 過D作DH⊥AP于H，由垂直的定義得到∠DHP=∠AHD=90°，根據等邊三角形的性質得到∠ACB=60°，由圓內接四邊形的性質得到∠APD=60°，解直角三角形即可得到結論．

解答 解：過D作DH⊥AP于H，
∴∠DHP=∠AHD=90°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠APD=60°，
∵PD=2，
∴PH=1，DH=$\sqrt{3}$，
∵AD=4，
∴AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴AP=PH+AH=$\sqrt{13}$+1，
故答案為：$\sqrt{13}$+1．

點評 本題考查了等邊三角形的性質，圓內接四邊形的性質，勾股定理，解直角三角形，正確的作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．