Question

9．如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)在AD邊上，M，N分別是CD，BC邊上的動點(diǎn)，若AB=AF=2，AD=3，則四邊形EFMN周長的最小值是（　　）

• A． 2+$\sqrt{13}$
• B． 2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{5}$
• C． 5+$\sqrt{5}$
• D． 8

Answer 1

分析 先延長EB至G，使BE=BG，延長FD到H，使DF=DH，連接GN，MH，根據(jù)M，N分別是CD，BC邊上的動點(diǎn)，可得當(dāng)點(diǎn)G、N、M、H在同一直線上時(shí)，GN+MN+MH=GH最短，即EN+MN+MF最短，再根據(jù)勾股定理求得GH和EF的長，即可得出四邊形EFMN周長的最小值．

解答 解：如圖所示，延長EB至G，使BE=BG，延長FD到H，使DF=DH，連接GN，MH，
∴BC垂直平分EG，CD垂直平分FH，
∴EN=GN，MF=MH，
∵E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)在AD邊上，AB=AF=2，AD=3，
∴EF長不變，AE=EB=BG=1，DF=DH=1，
即AG=3，AH=4，
∵M(jìn)，N分別是CD，BC邊上的動點(diǎn)，
∴當(dāng)點(diǎn)G、N、M、H在同一直線上時(shí)，GN+MN+MH=GH最短，
即EN+MN+MF最短，
此時(shí)Rt△AGH中，GH=$\sqrt{A{G}^{2}+A{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴EN+MN+MF=5，
又∵Rt△AEF中，EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴EN+MN+MF+EF=5+$\sqrt{5}$，
∴四邊形EFMN周長的最小值是5+$\sqrt{5}$，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了軸對稱的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，正確作出輔助線，確定EN+MN+MF的值最小時(shí)，M、N的位置是關(guān)鍵．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．