Question

11．在平面直角坐標系xOy中，直線y=-$\frac{1}{2}$x+6與x軸、y軸分別交于點A、B，與直線y=x相交于點C．

（1）直接寫出點C的坐標；
（2）如圖，現將直角∠FCE繞直角頂點C旋轉，旋轉時始終保持直角邊CF與x軸、y軸分別交于點F、點D，直角邊CE與x軸交于點E．
①在直角∠FCE旋轉過程中，$\frac{CD}{CE}$的值是否會發生變化？若改變，請說明理由；若不變，請求出這個值；
②在直角∠FCE旋轉過程中，是否存在以C、E、F為頂點的三角形與△ODE相似？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）聯立兩直線解析式，求方程組的解即可求得點C的坐標；
（2）①過點C作CH⊥y軸于點H，過點C作CK⊥x軸于點K，則可證明△CHD∽△CKE，結合點C的坐標，可求得$\frac{CD}{CE}$的值；
②分△ODE∽△CEF和△ODE∽△CFE兩種情況，當△ODE∽△CEF時，利用相似三角形的性質可求得O為EF中點，可求得OF的長，再證明△CHD∽△FOD，利用相似三角形的性質可求得OD的長，可求得D點的坐標；當△ODE∽△CFE時，過點C作CM⊥y軸于點M，過點C作CN⊥x軸于點N，利用△CMD≌△CNE可證得OC=OD，則可求得點D的坐標．

解答 解：
（1）聯立兩直線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+6}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴C（4，4）；
（2）①不變；
如圖1，過點C作CH⊥y軸于點H，過點C作CK⊥x軸于點K，則CH=CK=4，

∵∠1+∠DCK=90°，∠2+∠DCK=90°，
∴∠1=∠2，且∠CHD=∠CKE，
∴△CHD∽△CKE，
∴$\frac{CD}{CE}$=$\frac{CH}{CK}$=$\frac{4}{4}$=1；
②存在，
1°若△ODE∽△CEF，如圖2，

則∠OED=∠CFE，
∴DF=DE，又OD⊥EF，
∴OF=OE，
∵∠FCE=90°，
∴OC=$\frac{1}{2}$EF，
在Rt△CHO中，由勾股定理得OC=$4\sqrt{2}$，
∴OE=OF=OC=4$\sqrt{2}$，
又CH∥OF，
∴△CHD∽△FOD，
∴$\frac{HD}{OD}$=$\frac{CH}{OF}$，即$\frac{4-OD}{OD}$=$\frac{4}{2\sqrt{2}}$，
∴OD=8-4$\sqrt{2}$，
∴D（0，8-4$\sqrt{2}$）；
2°若△ODE∽△CFE，如圖3，

則∠CEO=∠OED．
過點C作CM⊥y軸于點M，過點C作CN⊥x軸于點N，
則CM=CN=4．易證△CMD≌△CNE，
∴∠CEO=∠CDM，CD=CE，
∴△CDE為等腰直角三角形，
∴∠CED=45°，
∴∠CEO=∠OED=∠CDM=22.5°，
∵△CMO為等腰直角三角形，
∴∠COM=45°，
∴∠OCD=∠COM-∠CDM=22.5°，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OD=OC，
在Rt△CMO中，由勾股定理得OC=4$\sqrt{2}$，
∴OD=OC=4$\sqrt{2}$，
∴D（0，-4$\sqrt{2}$）；
綜上所述若以C、E、F為頂點的三角形與△ODE相似，則D點坐標為（0，8-4$\sqrt{2}$）或（0，-4$\sqrt{2}$）．

點評 本題為相似三角形的綜合應用，涉及知識點有函數圖象的交點、相似三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質及分類討論思想等．在（1）中聯立函數解析式構成方程組是求函數圖象交點的常用方法，在（2）中利用相似三角形的性質得到關于OD的方程求得OD的長是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大．