Question

12．昌平區南環路大橋位于南環路東段，該橋設計新穎獨特，懸索和全鋼結構橋體輕盈、通透，恰好與東沙河濕地生態恢復工程及龍山、蟒山等人文、自然景觀相呼應；首創的兩主塔間和無上橫梁的設計，使大橋整體有一種開放、升騰的氣勢，預示昌平區社會經濟的蓬勃發展，絢麗的夜景照明設計更是光耀水天，使得南環路大橋不僅是昌平新城的交通樞紐，更是一座名副其實的景觀大橋，今后也將成為北京的一個新的旅游景點，成為昌平地區標志性建筑．
某中學九年級數學興趣小組進行了測量它高度的社會實踐活動．如圖，他們在B點測得頂端D的仰角∠DBA=30°，向前走了50米到達C點后，在C點測得頂端D的仰角∠DCA=45°，點A、C、B在同一直線上．求南環大橋的高度AD．（結果保留整數，參考數據：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{6}$≈2.45）

Answer 1

分析 由題意推知△ACD是等腰直角三角形，故設AC=AD=x，在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性質（或者解該直角三角形）得到關于x的方程，通過解方程求得x的值即可．

解答 解：由題意知，在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠DCA=45°，
∴AC=AD．
設AC=AD=x，
在Rt△ABD中，
∵∠BAD=90°，∠DBA=30°，
∴BD=2AD=2x，
∴AB=$\sqrt{3}x$．
∴BC=$（2-\sqrt{3}）x$．
∵BC=50，
∴$（2-\sqrt{3}）x=50$．
∴x≈68.3．
∴x=68．
∴南環大橋的高度AD約為68米．

點評 此題主要考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是從題目中整理出直角三角形并正確的利用邊角關系求解．