Question

已知：如圖1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，點D是線段AC的中點，連接BD并延長至點E，使BE=2BD．連接AE，CE．

（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

（2）如圖2所示，將三角板頂點M放在AE邊上，兩條直角邊分別過點B和點C，若∠MEC=∠EMC，BM交AC于點N．

①求證：△ABN≌△MCN；

②當點M恰為AE中點時sin∠ABM=　　　　　　．

Answer 1

【考點】四邊形綜合題．

【分析】（1）先證BD=DE，再加上AD=DC的條件可直接得出結論；

（2）①先CM=CE=BA，然后由“角角邊”定理直接得出結論；

②由M是AE中點，得出CM=EM=AM，再結合CE=CM，可證得△CEM是等邊三角形，從而∠CMA=∠ABM=30°．

【解答】解：（1）∵點D是線段AC的中點，BE=2BD，

∴AD=CD，DE=BD，

∴四邊形ABCE是平行四邊形．

（1）①∵四邊形ABCE是平行四邊形，

∴CE=AB，

∵∠MEC=∠EMC，

∴CM=AB，

在△ABN和△MCN中，

，

∴△ABN≌△MCN（AAS）；

②∵∠ACE=∠CAB=90°，M為AE中點，

∴CM=EM=AM，

∵CE=CM，

∴CE=CM=EM，

∴△CEM是等邊三角形，

∴∠CME=2∠MCA=60°，

∴∠MCA=30°，

∵△ABN≌△MCN，

∴∠ABM=∠MCA=30°，

∴sin∠ABM=．

【點評】本題為四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形斜邊中線定理、等邊三角形的判定與性質、特殊角的三角函數等知識點，難度不大，屬中檔題．