Question

16．如圖，等邊△ABC的邊長為10，D為AC上任意一點，延長AB至點E，使BE=CD，連接DE交BC于點P．
（1）求證：DP=PE；
（2）若D為AC的中點，求BP的長．

Answer 1

分析 （1）作DM∥AB交BC于M，可得出△CDM是等邊三角形，BE=DM，再求出△DPM≌△EPB，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)△BPE≌△MPD得到PM=BP，再證明△CDM是等邊三角形，進而得到答案．

解答 （1）證明：作DM∥AB交BC于M，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C=∠A=∠ABC=60°，
∵DM∥AB，
∴∠CDM=∠A=60°，
∴△CDM是等邊三角形，
∴CD=DM，
∵BE=CD，
∴BE=DM，
∵DM∥AB，
∴∠E=∠MDP，∠EBP=∠DMP，
在△DPM與△EPB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠MDP}\\{BE=DM}\\{∠EBP=∠DMP}\end{array}\right.$，
∴△DPM≌△EPB（ASA），
∴DP=PE．
（2）解：由（1）得△BPE≌△MPD，
∴PM=BP，
∵∠C=∠CMD=60°，
∴∠CDM=60°，
∴△CDM是等邊三角形，
∴CD=CM=DM，
∵D為AC的中點，
∴CD=CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC=5，
∴BP=$\frac{1}{2}$BF=2.5．

點評 本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵．