Question

19．在正方形ABCD中，DE為正方形的外角∠ADF的角平分線，點G在線段AD上，過點G作PG⊥DE于點P，連接CP，過點D作DQ⊥PC于點Q，交射線PG于點H．

（1）如圖1，若點G與點A重合．
①依題意補全圖1；
②判斷DH與PC的數量關系并加以證明；
（2）如圖2，若點H恰好在線段AB上，正方形ABCD的邊長為1，請寫出求DP長的思路（可以不寫出計算結果）．

Answer 1

分析 （1）①依題意補全圖形即可；
②由正方形的性質和角平分線得出∠EDF=∠ADE=45°，證出∠HAD=∠PDC，∠ADQ=∠DCQ，由ASA證明△HAD≌△PDC，得出對應邊相等即可；
（2）思路如下：a、與②同理可證∠HGD=∠PDC，∠ADQ=∠DCP，可證△HGD∽△PDC；b、由②可知△GPD為等腰直角三角形，可設DP=PG=x，則GD=$\sqrt{2}$x，AG=1-$\sqrt{2}$x，易證△AGH為等腰直角三角形，則GH=$\sqrt{2}$-2x；c、由△HGD∽△PDC得出比例式，解方程即可求得DP的長．

解答 解：（1）①依題意補全圖1，如圖1所示：
②DH=PC，理由如下：
∵DE為正方形的外角∠ADF的角平分線，
∴∠EDF=∠ADE=45°，
∵PG⊥DE于點P，
∴∠DAP=45°，
∴∠HAD=135°，∠PDC=135°，
∴∠HAD=∠PDC，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=CD，
∵DQ⊥PC，
∴∠CDQ+∠DCQ=90°，
∵∠ADQ+∠CDQ=90°，
∴∠ADQ=∠DCQ，
在△HAD和△PDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAD=∠PDC}\\{AD=CD}\\{∠ADQ=∠DCQ}\end{array}\right.$，
∴△HAD≌△PDC（ASA），
∴DH=CP；
（2）求DP長的思路如下：如圖2所示：
a、與②同理得：∠HGD=∠PDC，∠ADQ=∠DCP，
∴△HGD∽△PDC；
b、由②可知△GPD為等腰直角三角形，
∴∠AGH=∠PGD=45°，
∴△AGH為等腰直角三角形，
設DP=PG=x，則GD=$\sqrt{2}$x，AG=1-$\sqrt{2}$x，GH=$\sqrt{2}$-2x；
c、由△HGD∽△PDC得：$\frac{GH}{DP}=\frac{GD}{DC}$，
即$\frac{\sqrt{2}-2x}{x}$=$\frac{\sqrt{2}x}{1}$，
解得：x=$\frac{-\sqrt{2}±\sqrt{6}}{2}$（負值舍去），
∴DP=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質等知識；本題綜合性強，難度較大，熟練掌握正方形的性質，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關鍵．