Question

20．在平面直角坐標系內，已知點A（0，6），點B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設點P、Q移動的時間為t秒．
（1）求直線AB的解析式；
（2）當t=2秒時，求四邊形OPQB的面積；
（3）當t為何值時，以點A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似？

Answer 1

分析 （1）根據直線經過點A、B，利用待定系數法求出函數的解析式；
（2）過點Q作QM⊥OA于M，由△AMQ∽△AOB求出QM的值，求出四邊形OPQB的面積；
（3）以點A、P、Q為頂點的三角形與△AOB相似，分△APQ∽△AOB和△AQP∽△AOB兩種情況討論，根據相似三角形的對應邊的比相等，就可以求出t的值．

解答 解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，
將點A（0，6）、點B（8，0）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+6；
（2）過點Q作QM⊥OA于M，
當t=2秒時，AP=2，AQ=AB-BQ=6，
在Rt△OAB中，OA=6，OB=8，
由勾股定理可得，AB=10，
∵∠AOB=90°，QM⊥OA，
∴△AMQ∽△AOB，
∴$\frac{QM}{OB}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{QM}{8}$=$\frac{6}{10}$，
解得，QM=$\frac{24}{5}$，
∴△APQ的面積=$\frac{1}{2}$×AP×QM=$\frac{24}{5}$，
∴四邊形OPQB的面積=△AOB的面積-△APQ的面積=$\frac{96}{5}$；
（3）由題意得，AO=6，BO=8，AB=10，AP=t，AQ=10-2t，
當△APQ∽△AOB時，$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{t}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
解得，t=$\frac{30}{11}$；
當△APQ∽△ABO時，$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AO}$，即$\frac{t}{10}$=$\frac{10-2t}{6}$，
解得，t=$\frac{50}{13}$，
因此，t=$\frac{30}{11}$或t=$\frac{50}{13}$時，以點A．P．Q為頂點的三角形與△AOB相似．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質以及一次函數解析式的確定，掌握相似三角形的判定定理和性質定理、待定系數法求一次函數解析式是解題的關鍵．