Question

18．如圖，⊙O的半徑為1，等腰直角三角形ABC的頂點B固定且坐標為（$\sqrt{2}$，0），頂點A在⊙O上運動，始終保持∠CAB=90°，AC=AB
（1）當點A在x軸上時，求點C的坐標；
（2）當點A運動到x軸的負半軸上時，試判斷直線BC與⊙O位置關系，并說明理由；
（3）設點A的橫坐標為x，△ABC的面積為S，求S與x之間的函數關系式，并求出S的最大值與最小值；
（4）當直線AB與⊙O相切時，求AB所在直線對應的函數關系式．

Answer 1

分析 （1）中有兩種情況，即A點坐標為（1，0）或（-1，0），根據AB=AC，求出C點坐標；
（2）根據題意過點O作OM⊥BC于點M，求出OM的長，與半徑比較得出位置關系；
（3）過點A作AE⊥OB于點E，在Rt△OAE中求AE的長，然后再在Rt△BAE中求出AB的長，進而求出面積的表達式，根據自變量的取值范圍確定最大最小值；
（4）相切時有兩種情況，在第一象限或者第四象限，連接OA，并過點A作AE⊥OB于點E，在Rt△OAE中求出OE，然后就能求出A點坐標，AB所在直線對應的函數關系式很容易就能求出．

解答 解：
（1）當點A的坐標為（1，0）時，AB=AC=$\sqrt{2}$-1，點C的坐標為（1，$\sqrt{2}$-1）或（1，1-$\sqrt{2}$）；
當點A的坐標為（-1，0）時，AB=AC=$\sqrt{2}$+1，點C的坐標為（-1，$\sqrt{2}$+1）或（-1，-$\sqrt{2}$-1）；
（2）直線BC與⊙O相切．
如圖1，過點O作OM⊥BC于點M，

∴∠OBM=∠BOM=45°，
∴OM=OB•sin45°=1
∴直線BC與⊙O相切；
（3）過點A作AE⊥OB于點E，如圖2，

在Rt△OAE中，AE²=OA²-OE²=1-x²，
在Rt△BAE中，AB²=AE²+BE²=（1-x²）+（$\sqrt{2}$-x）²=3-2$\sqrt{2}$x
∴S=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$AB²=$\frac{1}{2}$（3-2$\sqrt{2}$x）=$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$x，
其中-1≤x≤1，
當x=-1時，S的最大值為$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$，
當x=1時，S的最小值為$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$；
（4）①當點A位于第一象限時（如右圖3）：
連接OA，并過點A作AE⊥OB于點E，

∵直線AB與⊙O相切，
∴∠OAB=90°，
又∵∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠OAB=180°，
∴點O、A、C在同一條直線
∴∠AOB=∠C=45°，即∠CBO=90°，
在Rt△OAE中，OE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
點A的坐標為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
過A、B兩點的直線為y=-x+$\sqrt{2}$；
②當點A位于第四象限時（如圖4），

點A的坐標為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
∵B的坐標為（$\sqrt{2}$，0）
∴過A、B兩點的直線為y=x-$\sqrt{2}$．

點評 本題為圓的綜合應用，涉及切線的性質與判定、直線與圓的位置關系、等腰直角三角形的性質以及待定系數法求一次函數解析式等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想、分類討論思想與數形結合思想的應用．