Question

4．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)D，E在⊙O上，連接AE，DE，CD，BE，CE，∠EAC+∠BAE=180°，$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$．
（1）判斷BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）求證：△ABE≌△DCE；
（3）若∠EAC=60°，BC=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）由A、B、C、E四點(diǎn)共圓的性質(zhì)得：∠BCE+∠BAE=180°，則∠BCE=∠EAC，所以$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，則弦相等；
（2）根據(jù)SSS證明△ABE≌△DCE；
（3）作BC和BE兩弦的弦心距，證明Rt△GBO≌Rt△HBO（HL），則∠OBH=30°，設(shè)OH=x，則OB=2x，根據(jù)勾股定理列方程求出x的值，可得半徑的長(zhǎng)．

解答 （1）解：BE=CE，
理由：∵∠EAC+∠BAE=180°，∠BCE+∠BAE=180°，
∴∠BCE=∠EAC，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴BE=CE；

（2）證明：∵$\widehat{AB}=\widehat{CD}$，
∴AB=CD，
∵$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴$\widehat{AE}=\widehat{ED}$，
∴AE=ED，
由（1）得：BE=CE，
在△ABE和△DCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{AB=CD}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE（SSS）；

（3）解：如圖，∵過(guò)O作OG⊥BE于G，OH⊥BC于H，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4，
BG=$\frac{1}{2}$BE，
∵BE=CE，∠EBC=∠EAC=60°，
∴△BEC是等邊三角形，
∴BE=BC，
∴BH=BG，
∵OB=OB，
∴Rt△GBO≌Rt△HBO（HL），
∴∠OBH=∠GBO=$\frac{1}{2}$∠EBC=30°，
設(shè)OH=x，則OB=2x，
由勾股定理得：（2x）²=x²+4²，
x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴OB=2x=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴⊙O的半徑為$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓的綜合題，考查了四點(diǎn)共圓的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、勾股定理、直角三角形30°的性質(zhì)，難度適中，第一問(wèn)還可以利用三角形全等得出對(duì)應(yīng)邊相等得結(jié)論；第三問(wèn)作輔助線，利用勾股定理列方程是關(guān)鍵．