Question

4．已知正方形ABCD，AB=4，點P是AD邊上一個動點（不運動至端點）．以AP、PE為邊在AD上方作矩形APFE，其中邊AP：AE=2：1．
（1）如圖（1），連接DF，延長BP交DE于Q，若BQ⊥FD于Q，求AP長．
（2）如圖（2），在點P運動過程中，矩形AEFP面積是S₁，矩形PDCG面積是S₂，設S₁+S₂=k，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設AP=x，則AE=PF=$\frac{1}{2}$x，PD=4-x，只要證明△ABP∽△PDF，得$\frac{AP}{PF}$=$\frac{AB}{PD}$，列出方程即可解決問題．
（2）設AP=x，則k=S₁+S₂=$\frac{1}{2}$•x•x+4（4-x）=$\frac{1}{2}$x²-4x+16，利用二次函數的性質即可解決問題．

解答 解：（1）∵FD⊥BQ，PF⊥AD，
∴∠DPF=∠PQD=90°，
∴∠DPQ+∠FPQ=90°，∠FPQ+∠PFD=90°，
∴∠DPQ=∠PFD，
∵∠DPQ=∠APB，
∴∠APB=∠DFP，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=4，∠BAP=∠DPF=90°，
∴△ABP∽△PDF，
∴$\frac{AP}{PF}$=$\frac{AB}{PD}$，設AP=x，則AE=PF=$\frac{1}{2}$x，PD=4-x，
∴$\frac{x}{\frac{1}{2}x}$=$\frac{4}{4-x}$，
∴x=2，
∴AP=2．

（2）設AP=x，則k=S₁+S₂=$\frac{1}{2}$•x•x+4（4-x）=$\frac{1}{2}$x²-4x+16，
∵拋物線的對稱軸x=4，0＜x＜4，
∴8＜$\frac{1}{2}$x²-4x+16＜16，
∴8＜k＜16．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、矩形的性質、正方形的性質、二次函數的應用等知識，解題的關鍵是熟練運用相似三角形的判定和性質，學會構建二次函數解決實際問題，屬于中考�？碱}型．