Question

13．圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點在B點的拋物線交x軸于點A、D，交y軸于點E，連結AB、AE、BE．已知tan∠CBE=$\frac{1}{3}$，A（3，0），D（-1，0），E（0，3）．
（1）求拋物線的解析式及頂點B的坐標；
（2）求證：CB是△ABE外接圓的切線；
（3）試探究坐標軸上是否存在一點P，使以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將點E（0，3）代入拋物線的解析式求得a的值，從而可得到拋物線的解析式；
（2）過點B作BF⊥y軸，垂足為F．先依據配方法可求得點B的坐標，然后依據點A、B、E三點的坐標可知△BFE和△EAO為等腰直角三角形，從而可證明△BAE為直角三角形，接下來證明△BFE∽△EOA，由相似三角形的性質可證明$\frac{BE}{AE}=\frac{FE}{OE}$=$\frac{1}{3}$，從而可得到∠CBE=∠EAB，于是可證明∠CBA=90°，故此CB是△ABE的外接圓的切線；
（3）過點D作DP′⊥DE，交y軸與點P′，過點E作EP″⊥DE，交x軸與點P″．然后證明△DEO、△P′DO、△EP″O均與△BAE相似，然后依據相似三角形的性質分別可求得DO、OP′、OP″的長度，從而可求得點P的坐標．

解答 解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．
∵將點E（0，3）代入拋物線的解析式得：-3a=3，
∴a=-1．
∴拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3．
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴B（1，4）．
（2）如圖1所示：過點B作BF⊥y軸，垂足為F．

∵A（3，0），E（0，3），
∴OE=OA=3．
∴∠OEA=45°．
∵E（0，3），B（1，4），
∴EF=BF．
∴∠FEB=45°．
∴∠BEA=90°．
∴AB為△ABE的外接圓的直徑．
∵∠FEB=∠OEA=45°，∠EOA=∠BFE，
∴△BFE∽△AOE．
∴tan∠EAB=$\frac{BE}{AE}=\frac{FE}{OE}$=$\frac{1}{3}$．
∵tan∠CBE=$\frac{1}{3}$，
∴∠CBE=∠EAB．
∵∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠CBE+∠EBA=90°，即∠CBA=90°．
∴CB是△ABE的外接圓的切線．
（3）如圖2所示：

∵$\frac{OD}{OE}=\frac{BE}{AE}=\frac{1}{3}$且∠DOE=∠BEA=90°，
∴△EOD∽△AEB．
∴當點P與點O重合時，△EPD∽△AEB．
∴點P的坐標為（0，0）．
過點D作DP′⊥DE，交y軸與點P′．
∵∠P′ED=∠DEO，∠DOE=∠EDP′，
∴△EDP′∽△EOD．
又∵△EOD∽△AEB，
∴△EDP′∽△AEB．
∵∠ODP′+∠OP′D=90°，∠DEP′+∠OP′D=90°，
∴∠ODP′=∠DEP′．
∴$\frac{OP′}{OD}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{OP′}{1}=\frac{1}{3}$．
∴OP′=$\frac{1}{3}$．
∴點P′的坐標為（0，-$\frac{1}{3}$）．
過點E作EP″⊥DE，交x軸與點P″．
∵∠EDP″=∠EDO，∠EOD=∠DEP″，
∴△EDO∽△P″DE．
∵又∵△EOD∽△AEB，
∴△EDP″∽△AEB．
∴∠EP″O=∠BAE．
∴tan∠EP″O=$\frac{OE}{OP″}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{3}{OP″}$=$\frac{1}{3}$．
∴OP″=9．
∴P″（9，0）．
綜上所述，點P的坐標為（0，0）或（0，-$\frac{1}{3}$）或（9，0）．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求二次函數的解析式、相似三角形的性質和判定、三角形的外接圓、切線的判定，證得△BAE為直角三角形是解答問題（2）的關鍵；證得三角形△DEO、△P′DO、△EP″O均與△BAE相似是解答問題（3）的關鍵．