Question

5．如圖，?OABC的頂點A的坐標為（3，0），∠COA=60°，D為邊AB的中點，反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象經過C、D兩點，直線CD交y軸于點E，則OE的長為3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作CE⊥x軸于點E，過B作BF⊥x軸于F，過D作DM⊥x軸于M，設C的坐標為（x，$\sqrt{3}$x），表示出D的坐標，將C、D兩點坐標代入反比例函數的解析式，解關于x的方程求出x即可得到點C、D的坐標，進而求得直線CD的解析式，最后計算該直線與y軸交點坐標即可得出結果．

解答 解：作CE⊥x軸于點E，則∠CEO=90°，
過B作BF⊥x軸于F，過D作DM⊥x軸于M，則BF=CE，DM∥BF，BF=CE，
∵D為AB的中點，
∴AM=FM，
∴DM=$\frac{1}{2}$BF，
∵∠COA=60°，
∴∠OCE=30°，
∴OC=2OE，CE=$\sqrt{3}$OE，
∴設C的坐標為（x，$\sqrt{3}$x），
∴AF=OE=x，CE=BF=$\sqrt{3}$x，OE=AF=x，DM=$\frac{1}{2}\sqrt{3}$x，
∵四邊形OABC是平行四邊形，A（3，0），
∴OF=3+x，OM=3+$\frac{1}{2}$x，
即D點的坐標為（3+$\frac{1}{2}$x，$\frac{1}{2}\sqrt{3}$x），
把C、D的坐標代入y=$\frac{k}{x}$得：k=x•$\sqrt{3}$x=（3+$\frac{1}{2}$x）•$\frac{1}{2}\sqrt{3}$x，
解得：x₁=2，x₂=0（舍去），
∴C（2，2$\sqrt{3}$），D（4，$\sqrt{3}$），
設直線CD解析式為：y=ax+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}=2a+b}\\{\sqrt{3}=4a+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{b=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線CD解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+3$\sqrt{3}$，
∴當x=0時，y=3$\sqrt{3}$，
∴E（0，3$\sqrt{3}$），即OE=3$\sqrt{3}$．
故答案為：3$\sqrt{3}$

點評 本題主要考查了平行四邊形的性質、運用待定系數法求函數的解析式以及解直角三角形的應用．根據反比例函數圖象經過C、D兩點，得出關于x的方程是解決問題的關鍵．