Question

1．如圖1，已知二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過點M（-2，-4），與x軸交于點B（-1，0）和點C與y軸交于A點．
（1）求二次函數的解析式．
（2）在x軸上存在一點N，使得∠NMC=∠BAC，求點N的坐標．
（3）如圖2，設點D在y軸負半軸上一動點，過A，B，D三點的⊙O₁交x軸于另一點E，連接BD，DE，O₁E，當點D在y軸負半軸上運動時，求S${\;}_{△{O}_{1}DE}$：S_△BOD的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法即可即可解決問題．
（2）如圖1中，連接AB、AC、作MD⊥x軸于D，首先證明∠OAC=∠DMC=45°，再證明△AOB∽△MDN，推出$\frac{OA}{DM}$=$\frac{OB}{DN}$，求得DN=2，即可解決問題．
（3）如圖3中，連接AB、作O₁N⊥DE于N．由△AOB∽△EOD，推出$\frac{AO}{OE}$=$\frac{OB}{OD}$，推出OE=2OD，設OD=k，則OE=2k，DE=$\sqrt{5}$k，由△BOD∽△O₁ND，推出$\frac{{S}_{△D{O}_{1}N}}{{S}_{△BOD}}$=（$\frac{DN}{OD}$）²=（$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}k}{k}$）²=$\frac{5}{4}$，由此即可解決問題．

解答 解：（1）把M（-2，-4），B（-1，0）點坐標代入y=-x²+bx+c得到$\left\{\begin{array}{l}{-4-2b+c=-4}\\{-1-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+2．

（2）如圖1中，連接AB、AC、作MD⊥x軸于D．

對于拋物線y=-x²+x+2，令y=0，-x²+x+2=0，解得x=-1或2，
∴C（2，0），
∴OA=OC=2，DM=DC=4，
∴∠OAC=∠DMC=45°，
∵∠NMC=∠BAC，
∴∠NMD=∠BAO，∵∠AOB=∠MDN=90°，
∴△AOB∽△MDN，
∴$\frac{OA}{DM}$=$\frac{OB}{DN}$，
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{DN}$，
∴DN=2，
∴ON=4，
∴點N的坐標為（-4，0）．

（3）如圖3中，連接AB、作O₁N⊥DE于N．

∵∠AOB=∠DOE，∠BAO=∠OED，
∴△AOB∽△EOD，
∴$\frac{AO}{OE}$=$\frac{OB}{OD}$，
∴$\frac{2}{OE}$=$\frac{1}{OD}$，
∴OE=2OD，設OD=k，則OE=2k，DE=$\sqrt{5}$k，
∵O₁N⊥DE，
∴DN=EN，∠DO₁N=∠EO₁N，
∵∠DO₁E=2∠DBE，
∴∠OBD=∠DO₁N，
∵∠BOD=∠O₁ND=90°，
∴△BOD∽△O₁ND，
∴$\frac{{S}_{△D{O}_{1}N}}{{S}_{△BOD}}$=（$\frac{DN}{OD}$）²=（$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}k}{k}$）²=$\frac{5}{4}$，
∵${S}_{△{O}_{1}DE}$=2${S}_{△D{O}_{1}N}$，
∴$\frac{{S}_{△D{O}_{1}E}}{{S}_{△BOD}}$=$\frac{10}{4}$=$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查二次函數綜合題、等腰直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理垂徑定理等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．