Question

3．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點B在x軸正半軸上，點D在y軸正半軸上，OB=OD=3，C是第一象限內的點，且△BOD和△BCD關于直線BD軸對稱．

（1）如圖①，則點C的坐標為（3，3）．
（2）如圖②，點M（m，0），N（0，n）（3＜n＜6），若∠MCN=90°，求m+n的值；
（3）如圖③，若E、F分別為線段OB與線段OD上的動點（不包含線段端點），且∠ECF=45°，那么△OEF的周長是否是個定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據折疊的性質證明矩形OBCD是正方形，得到答案；
（2）證明△DCN≌△BCM，根據全等三角形的性質解答；
（3）以點C為旋轉中心把△CDF逆時針旋轉90°，得到△CBH，證明△FCE≌△HCE，求出△OEF的周長是定值．

解答 解：（1）∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD=45°，
由折疊的性質可知，∠OBC=2∠OBD=90°，∠ODC=2∠ODB=90°，
又∠DOB=90°，
∴四邊形OBCD是矩形，又OB=OD，
∴矩形OBCD是正方形，
∴點C的坐標為（3，3）
故答案為3；3；
（2）∵∠MCN=90°，∠DCB=90°，
∴∠DCN=∠BCM，
在△DCN和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCM=∠BCN}\\{CD=CB}\\{∠CDN=∠CBM}\end{array}\right.$，
∴△DCN≌△BCM，
∴DN=BM，
∴m+n=OB-BN+OD+DN=OB+OD=6；
（3）△OEF的周長是定值6，
以點C為旋轉中心把△CDF逆時針旋轉90°，得到△CBH，
∵∠ECF=45°，∠DCB=90°，
∴∠DCF+∠ECB=45°，
∴∠ECH=45°，
在△FCE和△HCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CF=CH}\\{∠FCE=∠HCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△FCE≌△HCE，
∴EF=EH，
∴△OEF的周長=OF+OE+EF=OF+OE+BE+DF=3+3=6．

點評 本題考查的是全等三角形的判定和性質、軸對稱的性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．