Question

2．如圖，在△ABC中，AB=10，BC=12，BC邊上的中線AD=8．
（1）證明：△ABC為等腰三角形；
（2）點H在線段AC上，試求AH+BH+CH的最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角形的中線的定義可知BD=DC=6，然后依據勾股定理的逆定理可證明△ABD為直角三角形，故此AD⊥BC，則AD為BC的垂直平分線，依據線段垂直平分線的性質可知AB=AC；
（2）由題意可得到CH+AC=AC=10，故此當BH最小時，AH+BH+CH有最小值，依據垂線段的性質可知當BH⊥AC時，BH有最小值，在△ABC中，依據面積法可求得BH的最小值．

解答 解：（1）∵AD是BC邊上的中線，
∴BD=DC=6．
在△ABD中，BD²+AD²=6²+8²=10²=AB²，
∴△ABD為直角三角形．
∴∠ADB=90°．
∴AD⊥BC．
∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AB=AC．
∴△ABC為等腰三角形．
（2）∵AH+BH+CH=AC+BH=10+BH，
∴當BH最小時，AH+BH+CH有最小值．
由垂線段的性質可知當BH⊥AC時，BH有最小值．
∴$\frac{1}{2}$BH•AC=$\frac{1}{2}$BC•AD，即$\frac{1}{2}$×10•BH=$\frac{1}{2}$×12×8，
解得：BH=9.6．
∴AH+BH+CH的最小值=10+9.6=19.6．

點評 本題主要考查的是最短路徑問題，解答本題主要應用了勾股定理的逆定理、線段垂直平分線的性質，垂線段的性質，明確當BH⊥AC時，AH+BH+CH有最小值是解題的關鍵．