Question

6．如圖，以等腰三角形ABC的底邊BC為直徑的圓O分別交兩腰于D、E，連結DE，求證：
（1）DE∥BC；
（2）若D是AB中點，則ABC是等邊三角形．

Answer 1

分析 （1）首先連接BE、CD，即可得△ABC是等腰三角形，又由BC是⊙O直徑，易證得△BDC≌△CEB，即可證得AD=AE，故可得出DE是△ABC的中位線，據此可得出結論；
（2）若D是AB中點，由CD⊥AB，DE⊥AC，可證得△BCD≌△CDA，可得BC=CA，又由AB=AC，即可得△ABC是等邊三角形．

解答 證明：（1）連接BE、CD，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠DBC=∠ECB，AB=AC，
∵BC是⊙O直徑，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
在△BDC與△CEB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠CEB}\\{∠DBC=∠ECB}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△CEB（AAS），
∴BD=CE，
∴AD=AE，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC；

（2）∵D是AB中點，BC是直徑，
∴CD⊥AB，
∴BC=CA，
∵AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形．

點評 此題考查了圓周角定理，全等三角形的判定與性質，以及等腰三角形的性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．