Question

11．已知AD是△ABC的角平分線，求證：AB•AC=AD²+BD•CD．

Answer 1

分析 作輔助圓，根據同弧所對的圓周角相等和角平分線證明相似得出比例式，再證△BAD∽△ECD，根據相似三角形的性質得出AD•ED=BD•DC，即可得出答案．

解答 證明：作△ABC的外接圓O，延長AD交⊙O于E，連接CE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAC，
∵∠B=∠E，
∴△ABD∽△AEC
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$，
∴AB•AC=AD•AE=AD（AD+DE）=AD²+AD•ED，
∵∠B=∠E，∠BAD=∠DCE，
∴△BAD∽△ECD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{ED}$，
∴AD•ED=BD•DC，
∴AB•AC=AD•AE=AD²+BD•DC．

點評 本題考查了相似三角形的性質和判定，圓周角定理的應用，解此題的關鍵是推出△ABD∽△AEC和△BAD∽△ECD，主要考查學生的推理能力．