Question

20．如圖，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點，E是CD邊的中點，AE平分∠DAM．
（1）求證：AM=AD+MC；
（2）若AD=4，求AM的長．

Answer 1

分析 （1）從平行線和中點這兩個條件出發，延長AE、BC交于點N，易證△ADE≌△NCE，從而有AD=CN，只需證明AM=NM即可．
（2）設MC=x，則BM=4-x，由勾股定理與（1）的結論得出AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（4-x）^{2}}$=4+x，解得x即可得出結果．

解答 （1）證明：延長AE、BC交于點N，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠ENC，
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE，
∴∠ENC=∠MAE，
∴AM=MN，
在△ADE和△NCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠MAE}\\{∠AED=∠NEC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△NCE（AAS），
∴AD=NC，
∴AM=MN=NC+MC=AD+MC；

（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD=4，∠B=90°，
設MC=x，則BM=4-x，
AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（4-x）^{2}}$，
∵AM=AD+MC=4+x，
∴$\sqrt{{4}^{2}+（4-x）^{2}}$=4+x，
解得：x=1，
∴AM=5．

點評 本題主要考查了全等三角形的性質和判定、矩形的性質、角平分線的性質、勾股定理等知識，通過作輔助線構造全等三角形是解決問題的關鍵．