Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC為⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接DB， DF．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若DB平分∠ADC，AB=∶DE=4∶1，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】（1）直接利用直角三角形的性質(zhì)得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出答案即可；

（2）首先得出AB=BC即可得出它們的長(zhǎng)，再利用△ADC～△ACE，得出AC2=ADAE，進(jìn)而得出答案．

（1）連接OD．

∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．

∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC=∠EDC=90°．

∵點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，∴DF=CF=EF，∴∠FDC=∠FCD，∴∠FDO=∠FCO．

又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°，∴DF是⊙O的切線．

（2）∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC=∠ABC=90°．

∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴=，∴BC=AB=5．

在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100．

又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，

∴△ADC～△ACE，∴=，∴AC2=ADAE．

設(shè)DE為x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，

∴100=4x5x，∴x=，∴DE=．