Question

【題目】如圖，矩形ABCD的周長為32，AB＝6，對角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點E，F，連結AF，CE，且EF與AC相交于點O.

(1)求AC的長；

(2)求證：四邊形AECF是菱形；

(3)求EF的長；

(4)求S△ABF與S△AEF的比值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）詳見解析；（3）；（4）8∶17

【解析】

（1）矩形ABCD的周長為32，AB＝6，則可求得BC的值，再根據勾股定理求得AC的值；

（2）通過證明△AOE≌△COF，可證明四邊形AFEC是平行四邊形，然后根據“對角線互相垂直的平行四邊形為菱形”證明即可；

（3）設AF＝CF＝x，在Rt△ABF中，由勾股定理可求出x的值，然后由面積法即可求出EF的長；

（4）由(2)(3)知，AE＝CF＝，BF＝BC－CF＝，然后根據S△ABF與S△AEF的面積比等于BF∶AE即可得到其比值．

解：(1) ∵矩形ABCD的周長為32，AB＝6，

∴BC=32÷2-6=10，

∴AC＝＝＝2；　

(2) ∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠OAE=∠OCF，

∵EF垂直平分AC，

∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∴四邊形AFEC是平行四邊形，

又∵EF⊥AC，

∴四邊形AECF是菱形；

(3)由(2)知，四邊形AE CF是菱形，

∴AF＝CF，設AF＝CF＝x，

則BF＝10－x，

在Rt△ABF中，62＋(10－x)2＝x2，解得x＝，

∴CF＝，

∵S菱形AECF＝AC·EF＝CF·AB，

∴EF＝＝；

(4)由(2)(3)知，四邊形AECF是菱形，

∴AE＝CF＝，BF＝BC－CF＝，

∵AD∥BC，

∴S△ABF∶S△AEF＝BF∶AE＝∶＝8∶17