Question

5．已知：如圖，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，P為形內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC=120°，若BP=3，則△PAB的面積為（　　）

• A． 9
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． $\frac{9\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 如圖，作△BPC的外接圓⊙O，交AC的延長線于D，連接BD、PD．利用切線的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)對角互補(bǔ)得到∠BDA=180°-∠BPC=60°，所以∠ABD=180°-∠BAC-∠BDA=90°，即AB是⊙O的切線．設(shè)∠ABP=∠BDP=α．通過解直角△ABD、△BPD求得AB、AP的長度，然后由三角形的面積公式S=$\frac{1}{2}$absinC進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：如圖，作△BPC的外接圓⊙O，交AC的延長線于D，連接BD、PD．

∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°，
∴BD是⊙O的直徑．
∵四邊形BDCP是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠BDA=180°-∠BPC=60°，
∴∠ABD=180°-∠BAC-∠BDA=180°-30°-60°=90°，則AB是⊙O的切線．
設(shè)∠ABP=∠BDP=α．
在直角△ABD中，AB=BD•tan∠BDA=$\sqrt{3}$BD，
在直角△BPD中，BP=BD•sin∠BDP=BDsinα=3，
則△PAB的面積是：$\frac{1}{2}$AB•BPsin∠ABP=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$BD×3sinα=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$×3=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題．其中涉及到了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解直角三角形以及三角形的面積計(jì)算．此題的難點(diǎn)是作出△BPC的外接圓⊙O．