Question

11．如圖，拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4），與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在拋物線上存在點(diǎn)P（不與點(diǎn)D重合），使得S_△PAB=S_△ABD，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4），可設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=a（x-1）²-4，再將C（0，-3）代入求解即可；
（2）由S_△PAB=S_△ABD，根據(jù)三角形面積公式可得點(diǎn)P到線段AB的距離一定等于頂點(diǎn)D到AB的距離，而D的坐標(biāo)為（1，-4），所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)一定為4．將y=4代入（1）中所求解析式，得到x²-2x-3=4，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4），
∴設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=a（x-1）²-4，
又∵拋物線過點(diǎn)C（0，-3），
∴-3=a（0-1）²-4，
解得a=1，
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3；

（2）∵S_△PAB=S_△ABD，且點(diǎn)P在拋物線上，
∴點(diǎn)P到線段AB的距離一定等于頂點(diǎn)D到AB的距離，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)一定為4．
令y=4，則x²-2x-3=4，
解得x₁=1+2$\sqrt{2}$，x₂=1-2$\sqrt{2}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+2$\sqrt{2}$，4）或（1-2$\sqrt{2}$，4）．

點(diǎn)評 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．也考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積．