Question

2．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，G為邊BC上與點B，D，C不重合的任意一點，GH⊥AB于H，GM⊥AC于M；求證：GH+GM=DE+DF．

Answer 1

分析 連接AD、AG，利用三角形的面積可得S_△ABC=S_△ADB+S_△ACD=$\frac{1}{2}$AB•DE+$\frac{1}{2}$AC•DF，S_△ABC=S_△ABG+S_△ACG=$\frac{1}{2}$AB•HG+$\frac{1}{2}$AC•GM，進而可得$\frac{1}{2}$AB•DE+$\frac{1}{2}$AC•DF=$\frac{1}{2}$AB•HG+$\frac{1}{2}$AC•GM，再由AB=AC可得結論．

解答 證明：連接AD、AG，
∵S_△ABC=S_△ADB+S_△ACD=$\frac{1}{2}$AB•DE+$\frac{1}{2}$AC•DF，
S_△ABC=S_△ABG+S_△ACG=$\frac{1}{2}$AB•HG+$\frac{1}{2}$AC•GM，
∴$\frac{1}{2}$AB•DE+$\frac{1}{2}$AC•DF=$\frac{1}{2}$AB•HG+$\frac{1}{2}$AC•GM，
∵AB=AC，
∴GH+GM=DE+DF．

點評 此題主要考查了等腰三角形的性質，以及三角形的面積，關鍵是正確運用不同的方法表示△ABC的面積．