Question

8．如圖，在四邊形OABC中，BC∥AO，OC=AB，在建立如圖的平面直角坐標系中，A（8，0），B（6，6），H（4，0），過點H作x軸的垂線與直線AC交于P點．
（1）直接寫出C點的坐標，并求出直線AC的解析式；
（2）求出△OCP的面積，并在直線AC上找一點Q，使得△PHQ的面積等于△OCP的面積的$\frac{3}{4}$，求出Q點坐標；
（3）M點是直線AC與y軸的交點，問：在直線AC上是否存在一點N，使得以M、H、N為頂點的三角形為等腰三角形？若有，請求出所有點N的坐標，若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作CE⊥OA于點E，BF⊥OA于F，由條件可以得出△OEC≌△AFB，得出OE=AF，由A（8，0），B（6，6）可以得出0A=8，OF=6，BF=6，進而就可以求出C點的坐標，再利用待定系數法就可以求出AC的解析式；
（2）x=4可以求出P點坐標，利用S_△OPC=S_△OAC-S_△OAP可求得△OCP的面積，由Q點在AC上，設出Q的坐標，可以表示出△PHQ和△AOC的面積，由題意的面積關系建立等量關系就可以求得點Q的坐標；
（3）由直線AC解析式可求得M點坐標，設出點N的坐標，可分別表示出MN、HN和MH的長，再利用等腰三角形的性質可得到關于N點坐標的方程，可求得N點坐標．

解答 解：
（1）如圖1，作CE⊥OA于點E，BF⊥OA于F，

∴∠CEO=∠BFA=90°，
∴CE∥BF，且OA∥BC，
∴四邊形ECBF是平行四邊形，
∴CE=BF，
在Rt△OEC和Rt△AFB中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=AB}\\{CE=BF}\end{array}\right.$
∴Rt△OEC≌Rt△AFB（HL），
∴OE=AF，
∵A（8，0），B（6，6），
∴0A=8，OF=6，BF=6，
∴OE=2
∴C（2，6），
設直線AC解析式為：y=kx+b（k≠0），
∵直線AC過點A（8，0），C（2，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=8k+b}\\{6=2k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線AC解析式為y=-x+8；
（2）將x=4代入上述解析式，y=4，即PH=4，
∴S_△OPC=S_△OAC-S_△OAP=$\frac{1}{2}$OA•OC-$\frac{1}{2}$OA•PH=$\frac{1}{2}$×8×6-$\frac{1}{2}$×6×4=12，
∵Q點在直線AC上，設Q點坐標為（t，-t+8），
∴Q到PH的距離=|-t+8-4|=|t-4|，
∵S_△PHQ=$\frac{3}{4}$S_△OPC，
∴$\frac{1}{2}$|t-4|×4=$\frac{3}{4}$×12，解得t=8.5或t=-0.5，
∴Q點坐標為（8.5，-0.5）或（-0.5，8.5）；
（3）∵直線AC解析式為y=-x+8，
∴M（0，8），
∵點N在直線AC上，
∴可設點N坐標為（m，-m+8），
∵H（4，0），
∴MH=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，MN=$\sqrt{{m}^{2}+（-m+8-8）^{2}}$=$\sqrt{2}$|m|，HN=$\sqrt{（m-4）^{2}+（-m+8）^{2}}$=$\sqrt{2{m}^{2}-24m+80}$，
∵△MHN為等腰三角形，
∴有MH=MN、MH=HN或MN=HN三種情況，
①當MH=MN時，即4$\sqrt{5}$=$\sqrt{2}$|m|，解得m=±2$\sqrt{10}$，此時N點坐標為（2$\sqrt{10}$，-2$\sqrt{10}$+8）或（-2$\sqrt{10}$，2$\sqrt{10}$+8），
②當MH=HN時，即4$\sqrt{5}$=$\sqrt{2{m}^{2}-24m+80}$，解得m=0（M、N重合，舍去）或m=12，此時N點坐標為（12，-4），
③當MN=HN時，即$\sqrt{2}$|m|=$\sqrt{2{m}^{2}-24m+80}$，解得m=$\frac{10}{3}$，此時N點坐標為（$\frac{10}{3}$，$\frac{14}{3}$），
綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為（2$\sqrt{10}$，-2$\sqrt{10}$+8）或（-2$\sqrt{10}$，2$\sqrt{10}$+8）或（12，-4）或（$\frac{10}{3}$，$\frac{14}{3}$）．

點評 本題為一次函數的綜合應用，涉及待定系數法、平行四邊形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、等腰三角形的性質、方程思想及分類討論思想等知識點．在（1）中構造三角形全等是解題的關鍵，在（2）中求得點P的坐標是解題的關鍵，在（3）中用N點的坐標分別表示出MN、HN的長是解題的關鍵，注意分類討論．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大．