Question

6．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）作線段AB的垂直平分線DE，垂足為點E，交AC于點D，要求用尺規作圖，保留作圖痕跡，標注有關字母，不要求寫作法和證明；
（2）連接BD，直接寫出∠CBD的度數；
（3）如果△BCD的面積為4，請求出△BAD的面積．

Answer 1

分析 （1）利用基本作圖，作AB的垂直平分線即可；
（2）利用垂直平分線的性質得DA=DB，則∠DBA=∠A=30°，然后計算∠ABC-∠DBA即可；
（3）在Rt△BCD中利用含30度的直角三角形三邊的關系得到DB=2CD，則DA=2CD，然后根據三角形面積公式得到S_△ABD=2S_△BCD=8．

解答 解：（1）如圖，DE為所作；

（2）∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=30°，
∵∠ABC=90°-∠A=60°，
∴∠CBD=∠ABC-∠DBA=60°-30°=30°；
（3）在Rt△BCD中，∵∠CBD=30°，
∴DB=2CD，
而DA=DB，
∴DA=2CD，
∴S_△ABD=2S_△BCD=8．

點評 本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了垂直平分線的性質．