Question

15．如圖，二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0），與y軸交于點C（0，3）．
（1）求二次函數的表達式；
（2）設上述拋物線的對稱軸l與x軸交于點D，過點C作CE⊥l于E，P為線段DE上一點，Q（m，0）為x軸負半軸上一點，以P、Q、D為頂點的三角形與△CPE相似；
①當滿足條件的P點有且只有一個時，求m的取值范圍；
②若滿足條件的P點有且只有兩個，直接寫出m的值．

Answer 1

分析 （1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將C（0，3）代入求得a的值可得到拋物線的解析式；
（2）先求得點C的坐標，從而得到ED的長，然后再求得拋物線的對稱軸，從而得到CE的長，然后設PE=x，則PD=3-x，然后分為△CEP∽△QDP和△CEP∽△PDQ兩種情況列出比例式，從而得到m與x的函數關系，然后依據函數關系可確定出m的取值范圍，①依據符合條件的點P只有一個，然后找出僅能夠使得其中一個三角形的相似時，m的范圍即可；②找出能夠使得兩種情況都成立時，m的范圍即可．

解答 解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
將C（0，3）代入得：3=-3a，解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．

（2）∵x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴CE=1．
將x=0代入拋物線的解析式得：y=3，
∴點C（0，3）．
∴ED=3．
設EP=x，則（0＜x＜3）．
當△CEP∽△QDP時，$\frac{CE}{EP}=\frac{QD}{PD}$，即$\frac{1}{x}=\frac{1-m}{3-x}$，整理得：m=2-$\frac{3}{x}$，
∴m隨x的增大而增大，
∴m＜1．
∵Q在x軸的負半軸上，
∴m＜0．
當△CEP∽△PDQ時，$\frac{CE}{EP}=\frac{PD}{DQ}$，即$\frac{1}{x}=\frac{3-x}{1-m}$，整理得：m=x²-3x+1，
∴當x=$\frac{3}{2}$時，m有最小值，m的最小值=-$\frac{5}{4}$．
又∵Q在x軸的負半軸上，
∴m＜0．
∴-$\frac{5}{4}$≤m＜0．
①∵當m＜-$\frac{5}{4}$時，有且只有△CEP∽△QDP一種情況，
∴當m＜-$\frac{5}{4}$時，滿足條件的點P有且只有一個．
②當-$\frac{5}{4}$≤m＜0時，存在△CEP∽△QDP或△CEP∽△PDQ兩種情況，
∴當-$\frac{5}{4}$≤m＜0時，滿足條件的P點有且只有兩個．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，相似三角形的性質，解答本題主要應用了待定系數法求二次函數的解析式，相似三角形的性質，二次函數的性質、反比例函數的性質，求得m與x的函數關系，利用函數關系式確定出m的范圍是解題的關鍵．