Question

19．如圖①，點(diǎn)D為一等腰直角三角形紙片的斜邊AB的中點(diǎn)，E是BC邊上的一點(diǎn)，將這張紙片沿DE折成如圖②，使BE與AC邊相交于點(diǎn)F，若圖①中AB=$\sqrt{10}$，則圖②中△CEF的周長(zhǎng)為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 圖，作DM⊥AC于M，DH⊥BC于H，DN⊥EB于N，連接DF．首先證明△DFB≌△DFC，推出CF=BF，推出△EFC的周長(zhǎng)=EF+CF+EC=（EF+FB）+EC=EB′+EC=CB′，由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，作DM⊥AC于M，DH⊥BC于H，DN⊥EB于N，連接DF．

∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=B′D，
∴CD=DB′=AD=DB，∠DCB=∠DCA=45°，∠B′=∠B=∠DCA=45°．
∴DH=DM=DN，
∴∠DFM=∠DFN，
∵∠BFM=∠EFC，
∴∠DFB=∠DFC，
在△DFB和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DCF}\\{∠DFB=∠DFC}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△DFB≌△DFC，
∴CF=BF，
∵△EFC的周長(zhǎng)=EF+CF+EC=（EF+FB）+EC=EB′+EC=CB′，
∵AB′=$\sqrt{10}$，
∴CB′=AB′•cos45°=$\sqrt{10}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{5}$，
故答案為$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查翻折變換、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．